Contoh Soal Derivatif Matematika Ekonomi

Derivatif dalam matematika ekonomi adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk menentukan perubahan dari suatu fungsi atau variabel. Dalam ilmu ekonomi, derivatif dapat digunakan untuk menghitung keuntungan atau kerugian dari investasi, menghitung tingkat pertumbuhan atau perubahan harga, serta mengoptimalkan penggunaan sumber daya.

Berikut adalah contoh soal derivatif dalam matematika ekonomi:

Contoh Soal 1:
Seorang investor memiliki investasi pada saham ABC. Harga saham ABC adalah $50 pada waktu t=0 dan meningkat sebesar $3 per bulan. Hitunglah harga saham ABC pada waktu t=3 menggunakan turunan.

Jawab:
Pertama-tama, kita harus menentukan fungsi harga saham ABC sebagai fungsi waktu (t).
Harga saham ABC = f(t) = $50 + $3t

Kemudian, untuk menentukan harga saham ABC pada waktu t=3, kita perlu mencari turunan dari fungsi harga tersebut.
f'(t) = 3

Kita dapat langsung menghitung harga saham ABC pada waktu t=3 dengan menggunakan turunan dari fungsi harga tersebut.
f(3) = $50 + $3(3) = $59

Jadi, harga saham ABC pada waktu t=3 adalah $59.

Contoh Soal 2:
Sebuah perusahaan menghasilkan produk A dan B. Harga jual produk A adalah $100 dan harga jual produk B adalah $150. Fungsi biaya produksi untuk produk A adalah $50 + $10x, sedangkan fungsi biaya produksi untuk produk B adalah $75 + $5x. Berapa banyak produk A dan B yang harus diproduksi agar keuntungan maksimal?

Jawab:
Untuk mencari keuntungan maksimal, kita perlu menghitung turunan dari fungsi keuntungan total.
K = P – C
K = (100x + 150y) – (50 + 10x + 75 + 5y)
K = 90x + 145y – 125

Kita perlu mencari titik maksimum dari fungsi keuntungan tersebut dengan mencari turunan kedua dari fungsi tersebut.
∂K/∂x = 90
∂K/∂y = 145
∂²K/∂x² = 0
∂²K/∂y² = 0
∂²K/∂x∂y = 0

Dari turunan kedua tersebut, kita dapat menentukan bahwa titik maksimum terjadi pada x=0 dan y=0.

Jadi, perusahaan harus memproduksi 0 unit produk A dan 0 unit produk B untuk mencapai keuntungan maksimal. Namun, dalam keadaan sebenarnya, perusahaan harus mempertimbangkan berbagai faktor lain seperti permintaan pasar dan kemampuan produksi dalam menentukan jumlah produksi yang optimal.