Contoh Soal Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah jenis persamaan diferensial yang memiliki sifat khusus yang memungkinkan kita untuk menyelesaikannya dengan mudah. Dalam artikel ini, kita akan melihat beberapa contoh soal persamaan diferensial eksak dan cara menyelesaikannya.

1. Contoh Soal:
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut:
(2x – y) dx + (x + 2y) dy = 0

Cara Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu memeriksa apakah persamaan ini eksak atau tidak. Dalam hal ini, kita perlu memverifikasi apakah turunan parsial terhadap x dari suku pertama sama dengan turunan parsial terhadap y dari suku kedua. Jika persamaan ini eksak, kita dapat menemukan fungsi potensial yang memenuhi persamaan ini.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
– Hitung turunan parsial terhadap x dari suku pertama: (∂M/∂x) = 2
– Hitung turunan parsial terhadap y dari suku kedua: (∂N/∂y) = 2

Karena (∂M/∂x) = (∂N/∂y), persamaan ini eksak. Oleh karena itu, kita dapat mencari fungsi potensial φ(x, y) yang memenuhi ∂φ/∂x = (2x – y) dan ∂φ/∂y = (x + 2y).

Integralkan persamaan pertama terhadap x untuk mendapatkan φ(x, y):
φ(x, y) = x^2 – xy + g(y)

Turunkan persamaan φ(x, y) terhadap y dan samakan dengan suku kedua persamaan diferensial asli:
(∂φ/∂y) = (∂/∂y)(x^2 – xy + g(y)) = x + g'(y) = x + 2y

Dari sini, kita dapat menyimpulkan bahwa g'(y) = 2y. Integralkan persamaan ini terhadap y:
g(y) = y^2 + C

Substitusikan hasil ini ke dalam persamaan φ(x, y):
φ(x, y) = x^2 – xy + y^2 + C

Oleh karena itu, solusi umum dari persamaan diferensial ini adalah φ(x, y) = x^2 – xy + y^2 + C.

2. Contoh Soal:
Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut dengan syarat awal y(1) = 2:
(x^2 – y^2) dx + 2xy dy = 0

Cara Penyelesaian:
Seperti sebelumnya, kita perlu memeriksa apakah persamaan ini eksak atau tidak dengan membandingkan turunan parsial terhadap x dan y.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
– Hitung turunan parsial terhadap x dari suku pertama: (∂M/∂x) = 2x
– Hitung turunan parsial terhadap y dari suku kedua: