Contoh Soal Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah jenis persamaan matematika yang digunakan untuk menggambarkan hubungan antara suatu fungsi dan turunan dari fungsi tersebut. Persamaan diferensial terdiri dari dua jenis yaitu persamaan diferensial biasa (ordinary differential equations) dan persamaan diferensial parsial (partial differential equations). Dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal persamaan diferensial biasa.

Contoh soal pertama adalah persamaan diferensial homogen orde satu:

$$
y’ + 2y = 0
$$

Persamaan ini dapat dipecahkan dengan menggunakan metode pemisahan variabel. Pertama, kita pisahkan variabel y dan y’ pada kedua sisi persamaan:

$$
frac{dy}{dx} = -2y
$$

Kemudian, kita integrasikan kedua sisi persamaan:

$$
int frac{dy}{y} = int -2dx
$$

$$
ln |y| = -2x + C
$$

$$
y = Ce^{-2x}
$$

Jadi, solusi dari persamaan diferensial ini adalah $y = Ce^{-2x}$.

Contoh soal kedua adalah persamaan diferensial orde dua:

$$
y” – 4y’ + 4y = 0
$$

Untuk memecahkan persamaan ini, kita dapat menggunakan metode karakteristik. Kita anggap solusi persamaan diferensial ini dalam bentuk $y=e^{rx}$. Kemudian, kita turunkan persamaan karakteristiknya:

$$
r^2e^{rx} – 4re^{rx} + 4e^{rx} = 0
$$

$$
r^2 – 4r + 4 = 0
$$

$$
(r-2)^2 = 0
$$

Dari sini, kita dapatkan dua akar yang sama, yaitu $r=2$. Oleh karena itu, solusi umum dari persamaan diferensial ini adalah:

$$
y = (c_1 + c_2x)e^{2x}
$$

Contoh soal ketiga adalah persamaan diferensial orde dua non-homogen:

$$
y” + 4y’ + 4y = 2e^{-x}
$$

Kita dapat menggunakan metode variasi parameter untuk memecahkan persamaan ini. Pertama, kita cari solusi homogen dari persamaan ini:

$$
y_h” + 4y_h’ + 4y_h = 0
$$

Solusi homogen ini sudah kita temukan pada contoh soal sebelumnya, yaitu $y_h = c_1e^{-2x} + c_2xe^{-2x}$.

Selanjutnya, kita cari solusi partikular dengan menggunakan metode variasi parameter. Kita anggap solusi partikular dalam bentuk $y_p = u_1(x)e^{-x}$. Kemudian, kita turunkan persamaan ini:

$$
y_p’ = -u_1(x)e^{-x} + u_1′(x)e^{-x}
$$

$$
y_p” = 2u_1(x)e^{-x} – u_1′(x)e^{-x}
$$

Kita substitusikan solusi partikular dan turunannya ke persamaan aw